Phương trình sai phân

     

I. Các khái niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa sai phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai...




Bạn đang xem: Phương trình sai phân

*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNI. Các khái niệm cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). f(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số)2. Định nghĩa sai phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai phân cấp m-1 của hàm số đó : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn sai phân cấp 2 được tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương tự ta có thể biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình sai phân Định nghĩa : là PT với hàm số phải tìm là 1 hàm đối số rời rạc f (n) = Un có mặtdưới dạng sai phân các cấp.PT sai phân cấp m có dạng tổng quát : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay có thể viết dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rạc Un =f(n) mà khi thay Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng nhất thức trên tập hợp các số nguyên n0.Nghiệm tổng quát của một PT sai phân cấp n có dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) trong đóC1, C2,...,Cn là các hằng số bất kì, khi gán cho mỗi kí tự C1, C2,...,Cn một số xác địnhta được một nghiệm riêng của PT.PT sai phân Ôtônôm là PT có dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình sai phân tuyến tính1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1Định nghĩa: Là phương trình có dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong đó an, bn, fn là các hàm đối số nguyên. Un và Un+1 là hai giá trị kề nhau của hàmUn đối số nguyên cần tìm.Nếu an và bn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng của (1).Ví dụ:Một khách hàng có số tiền là A đồng, đem gửi tiết kiệm, lãi xuất mỗi tháng là 1%.Lập mô hình về tình hình tiền vốn của khách hàng. 1Ta có un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình sai phân cấp caoa. Phương trình sai phân cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và cn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng.Nếu fn = 0 thì ta có phương trình thuần nhất liên kếtan.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất và U1n, U2n là 2nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất liên kết thì nghiệm tổng quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã cho Fibonacci một bài toán như sau: “Hômnay, người ta tặng tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai tháng tuổi bắt đầu đẻ và sau đó mỗitháng đẻ một lứa, mỗi lứa là một cặp thỏ. Hết năm, tôi có bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: Gọi Fn là số cặp thỏ có được ở tháng thứ n.Tháng trước có Fn-1 cặp, trong đó chỉ có số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương trình sai phân cấp kLà phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nghiệm tổng quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân số Hà Nội là 1,6 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1% một năm. Hỏidân số Hà Nội năm 2050 là bao nhiêu?Giải: Gọi un là dân số Hà Nội năm thứ n + 1990 1Ta có un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) với q 0. PT thuần nhất liên kết Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất (1) và U1n là mộtnghiệm của PT thuần nhất liên kết (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa tìm nghiệm riêng của (1) : q+) Nếu p -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng là = qn.IV. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn và yn độc lập tuyến tính y0 y1Bổ đề 2: Nếu xn, yn là nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng quát của (3).Chứng minh:Gọi Un là một nghiệm bất kỳ của (3). Ta chứng minh rằng tồn tại Au và Bu sao cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là các hằng số phụ thuộc un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm duy nhất Au và Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minh bằng quy nạp, ta có Un = Au.xn + Bu.yn mọi nghiệm của (3) đều biểu diễn qua xn và yn đ.p.c.mTa tìm nghiệm riêng dưới dạng xn = λn (λ 0).

Xem thêm:

Thay vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3).Trường hợp 1: Nếu (4) có hai nghiệm thực phân biệt λ1 và λ2 (3) có hai nghiệmriêng độc lập tuyến tính xn = λ1n và yn = λ2n .Nghiệm tổng quát Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường hợp 2: Nếu (4) có nghiệm kép là λ0, (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường hợp 3: Nếu (4) có hai nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) và với r = A2 + B2 và α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là xn = rn.cosnα và yn = rn.sinnαNghiệm tổng quát Un = rn . 4Ví dụ 1: Tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Phương trình đặc trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 và λ2 = 2Vậy nghiệm tổng quát un = A + B.2n. u0 = A + B = 1 Hệ phương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 và B = -1. nVậy nghiệm riêng thoả mãn là un = 2 – 2 5Ví dụ 2: Tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 và λ2 = 2 1Vậy nghiệm tổng quát un = A 2n + B.2n. u0 = A + B = 0 Hệ phương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 3 (2-n – 2n)Ví dụ 3: Tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Phương trình đặc trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm tổng quát un = (A + Bn)5nVí dụ 4: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình đặc trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm tổng quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 1 + nVí dụ 5: Tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. n.Vậy nghiệm tổng quát un = Acos 3 + Bsin 3Ví dụ 6: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình đặc trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. n.Vậy nghiệm tổng quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 và B = 0. n.Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 2n.cos 32. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta tìm nghiệm riêng U*n của (5) : ? r+) Nếu p+q -1 thì nghiệm riêng là : U*n = 1pq+) Nếu p+q = -1 rn Khi p -2 thì nghiệm riêng là : U*n = p2 rn 2 * Khi p = -2 thì nghiệm riêng là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần nhất liên kết ta suy ra nghiệm tổng quát của (5).Trường hợp Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét ở dạng tổng quát cho PT sai phân tuyếntính hệ số hằng cấp k.V. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng.1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng:Là phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực. 6Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng Un = λn, thay vào (6) ta có phương trình đặc trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường hợp 1: Nếu (7) có k nghiệm thực phân biệt λ1, λ2, … λk ta có k nghiệmriêng độc lập tuyến tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng quát : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường hợp 2:Nếu (7) có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 có bội s và k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta thay thế s nghiệm riêng x1n, x2n, …, xsn tương ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm tổng quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường hợp 3: Nếu phương trình (7) có nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ có nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) và k-2 nghiệm thực phân biệt, khiđó tương ứng ta thay thế x1n = rn.cosnα và x2n = rn.sinnα trong nghiệm tổng quát.Nghiệm tổng quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknVí dụ 1: Tìm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 và λ3 = 5Vậy nghiệm tổng quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nVí dụ 2: Tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Phương trình đặc trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 và λ3 = 3Vậy nghiệm tổng quát un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 và C = -5.Vậy nghiệm riêng thoả mãn là un = (5 + 3n).2n – 5.3nVí dụ 3: Tìm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. n.Vậy nghiệm tổng quát un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp k hệ số hằngLà phương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực, fn 0n.Phương trình thuần nhất tương ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm tổng quát của phương trình (8) bằng nghiệm tổng quát của phươngtrình (6) cộng với nghiệm riêng bất kỳ của (8).Chứng minh:Giả sử vn là nghiệm tổng quát của (6) và xn là nghiệm riêng của (8).Đặt un = vn + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = vn + xn.Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng bất kỳ của (8) cũng là nghiệm riêng của (6). Vậynghiệm tổng quát của (8) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cộng vớinghiệm riêng bất kỳ của (8).Cách tìm nghiệm riêng xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường hợp 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cấp s của phương trình đặc trưng ( s có thể nhận giá trị 0) thìnghiệm riêng có dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) và tìm ci bằng phươngpháp hệ số bất định. Nếu λ = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 và tìm Ci bằng phương pháp hệ số bất định. fn = Pm(n).βnTrường hợp 2: Nếu λ = β là nghiệm cấp s của phương trình đặc trưng (s có thể nhận giá trị 0) thìnghiệm riêng có dạng xn= Qm(n).ns.βn, thay vào phương trình tìm Qm(n) bằng phươngpháp hệ số bất định. Nếu λ = β không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạngxn= Qm(n).βn, thay vào phương trình tìm Qm(n) bằng phương pháp hệ số bất định. fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường hợp 3: Ta tìm nghiệm riêng dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng ứng với f1(n) = Rl(n) (đưa về trường hợp 1) và x2n lànghiệm riêng ứng với f2(n) = Pm(n).βn (đưa về trường hợp 2). 5Ví dụ 1: Tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 λ = 1 không là nghiệm ta tìm nghiệm riêng dạng xn= an2 + bn+ cThay vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. xn = -2n2 + 2n - 10Đồng nhất hệ số a = -2, b =2 và c = -10Ví dụ 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –1 = 0 λ1= 1 và λ2 = -1 λ = 1 là nghiệm đơn ta tìm nghiệm riêng dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Thay vào phương trình a = 1, b = c = 0 5Ví dụ 3: Tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 ta tìm nghiệm riêng dạng xn= A.3n λ = 3 không là nghiệm 5 2 2Thay vào phương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3. 2nVí dụ 4: Tìm một nghiệm riêng của phương trìnhBài làm: Phương trình đặc trưng λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 và λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm đơn ta tìm nghiệm riêng dạng xn= A.n.2n 1 -nThay vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nVí dụ 5: Tìm một nghiệm riêng của phương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ 1 và ví dụ 3 nghiệm riêng xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình sai phân 9

Chuyên mục: Đầu tư tài chính